群的概念
群
- 封闭
- 结合律
- 单位元
- 逆元
阿贝尔群
交换群，满足交换律
性质
- 单位元唯一
- 逆元唯一
- $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$
- $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$
- 消去律成立
子群
定义
H是G的非空子集，运算也构成群，$H<G$
平凡子群
只有单位元
定理
- 定理 $1.3 .3$ 设 $G$ 为群, $H$ 是群 $G$ 的非空子集, 则 $H$ 成为 $G$ 的子群的充分必 要条件是对任意的 $a, b \in H$, 有 $a b^{-1} \in H$.
- $\text { 群 } G \text { 的任意两个子群的交集还是 } G \text { 的子群 }$
矩阵
$G L_{n}(\mathbf{R})$ 表示所有 $n$ 阶可逆实矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 记
\[S L_{n}(\mathbf{R})=\left\lbraceA \in M_{n}(\mathbf{R}) \mid \operatorname{det}(A)=1\right\rbrace\]最小子群
$\langle S\rangle \text { 是 } G \text { 的包含 } S \text { 的最小子群 }$
由$S$生成的循环群$\langle a\rangle=\left\lbracea^{r} \mid r \in \mathbb{Z}\right\rbrace$
同构
定义
设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群, $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一一对应, 使
\[\phi(a \cdot b)=\phi(a) \cdot \phi(b), \quad \forall a, b \in G\]$\phi$为$G$到$G’$的同构映射。
对称群 变换群
非空集合 $X$ 的全体可送变换关于变换的合成所构成的群 $S_{X}$ 称为集合 $X$ 的对称群， $S_{X}$ 的任一子群称为 $X$ 的一个变换群
凯莱定理
每个群都同构于一个变换群。
循环群
阶
设 $G$ 是一个群, $e$ 是 $G$ 的单位元, $a \in G .$ 如果存在正整数 $r$, 使 $a^{r}=e$, 则称 $a$ 是有限阶的, 否则称 $a$ 是无限阶的. 使 $a^{r}=e$ 的最小正整数 $r$ 称为 元素 $a$ 的阶(order), 记作 $\operatorname{ord} a=r$. 如果 $a$ 是无限阶的, 则记作 $\operatorname{ord} a=\infty$.
定理
设 $G$ 为群, $e$ 为 $G$ 的单位元. (1) 对任意的 $a \in G$, 有 $\operatorname{ord} a=\operatorname{ord} a^{-1}$; (2) 设 $\operatorname{ord} a=n$, 如果有 $m \in \mathbf{Z}$, 使 $a^{m}=e$, 则 $n \mid m$; (3) 设 $\operatorname{ord} a=n$, 则对任意的 $m \in \mathbf{Z}, \operatorname{ord} a^{m}=\frac{n}{(n, m)}$; (4) 设 $\operatorname{ord} a=n, \operatorname{ord} b=m$, 如果 $a b=b a$, 且 $\operatorname{gcd}(n, m)=1$, 则 $\operatorname{ord}(a b)=m n$.
有限群的任何一个元素的阶都是群阶数的因子。
定义
设 $G$ 是群, 如果存在 $a \in G$, 使得 $G=\langle a\rangle$, 则称 $G$ 为一个循环群, 并称 $a$ 为 $G$ 的一个生成元. 当 $G$ 的元素个数无限时, 称 $G$ 为无限循环群; 当 $G$ 的元素个数为 $n$ 时, 称 $G$ 为 $n$ 阶循环群.
定理
定理 1.5.4 设 $G=\langle a\rangle$ 为偱环群, 则 (1) 如果 $|G|=\infty$, 则 $a$ 与 $a^{-1}$ 是 $G$ 的两个仅厺的生成元; (2) 如果 $|G|=n$, 则 $G$ 恰有 $\phi(n)$ 个生成元, 且 $a^{r}$ 是 $G$ 的生成元的充分必要 条件是 $(n, r)=1$, 其中, $\phi(n)$ 是欧拉函数.
循环群的任一子群也是循环群。
推论
设 $\operatorname{ord} a=n, r$ 是任一整数. 如果 $(n, r)=d$, 则
\[\left\langle a^{r}\right\rangle=\left\langle a^{d}\right\rangle\]设 $G=\langle a\rangle$ 为循环群, (1) 如果 $|G|=\infty$, 则 $G$ 的全部子群为
\[\left\lbrace\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d=0,1,2, \cdots\right\rbrace\](2) 如果 $|G|=n$, 则 $G$ 的全部子群为 $\left\lbrace\left\langle a^{d}\right\rangle \mid d\right.$ 为 $n$ 的正因子 $\rbrace$.
置换群和对称群
定义
置换后就变成对称群，对称群的子群是置换群
定理
每一个有限群都同构于一个置换群
轮换
定义 1.6.1 设 $\sigma$ 是一个 $n$ 阶置换. 如果存在 1 到 $n$ 中的 $r$ 个不同的数 $i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{r}$, 使
\[\sigma\left(i_{1}\right)=i_{2}, \sigma\left(i_{2}\right)=i_{3}, \cdots, \sigma\left(i_{r-1}\right)=i_{r}, \sigma\left(i_{r}\right)=i_{1}\]并且 $\sigma$ 保持其余的元素不变, 则称 $\sigma$ 是一个长度为 $r$ 的轮换 (cycle), 简称 $r$ 轮换, 记作
\[\sigma=\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{r}\right)\]2轮轮换成为对换
定理
任何两个不相交的轮换的乘积是交换的
每一个置换可表为一些不相交轮换的乘积
每个置换都可表为对换的乘积
交代群
由 $S_{n}$ 的全体偶置换所构成的子群称为 $n$ 次交代群, 记作 $A_{n}$.
子群的陪集
乘积
$A B=\lbracea b \mid a \in A, b \in B\rbrace$
定理
$\text { 如果 } H \text { 是群 } G \text { 的子群, 则 } H \cdot H=H \text {; }$
如果 $A, B$ 是群 $G$ 的两个子群, 则 $A B$ 也是群 $G$ 的子群的充分必要条件 是 $A B=B A$.
定义
设 $G$ 是群, $H$ 是 $G$ 的子群. 对任意的 $a \in G$, 群 $G$ 的子集 $a H=\lbracea h \mid h \in H\rbrace \quad$与 $H a=\lbraceh a \mid h \in H\rbrace$ 分别称为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集和右陪集.
定理
(1) $a \in a H$; (2) $a H=H$ 的充分必要条件是 $a \in H$; (3) $a H$ 为子群的充分必要条件是 $a \in H$; (4) $a H=b H$ 的充分必要条件是 $a^{-1} b \in H$; (5) $a H$ 与 $b H$ 或者完全相同，或者无公共元素; (6) $|a H|=|b H|$.
符号表示
\[\begin{aligned} &G / H=\lbraceg H \mid g \in G\rbrace \\ &H \backslash G=\lbraceH g \mid g \in G\rbrace \end{aligned}\]定理
定理 $2.1 .3$ 设 $H$ 为 $G$ 的子群, 则
\[\begin{aligned} \phi: \quad G / H & \longrightarrow H \backslash G, \\ a H & \longmapsto H a^{-1} \end{aligned}\]是 $G / H$ 到 $H \backslash G$ 的一一对应.
指数
子群 H 在 G 中的左陪集或者右陪集的个数叫做指数，叫做$[G:H]$
拉格朗日定理
设 $G$ 是一个有限群, $H$ 是 $G$ 的子群, 则
\[|G|=|H|[G: H] .\]正规子群与商群
定义
设 $H$ 是群 $G$ 的子群, 如果对每个 $a \in G$, 都有 $a H=H a$, 则称 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群或不变子群, 记 作 $H \triangleleft G$.
单群
只有他本身一个正规子群
等价条件
(1) $H$ 是 $G$ 的正规子群; (2) 对任意的 $a \in G$, 有 $a H a^{-1}=H$; (3) 对任意的 $a \in G$, 有 $a H a^{-1} \subseteq H$; (4) 对任意的 $a \in G, h \in H$, 有 $a h a^{-1} \in H$.
定理
$H_{1} \cap H_{2} \text { 与 } H_{1} H_{2}$都是正规子群
陪集乘法
$a H \cdot b H=(a b) H$构成群
商群
陪集也叫商群
有限群 G 的商群的阶是群 G 的阶数的因子
群的同态和同构基本定理
定义
定义 $2.3 .1$ 设 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是两个群, $\phi$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射. 如果对任意的 $a, b \in G$ 有
\[\phi(a b)=\phi(a) \phi(b),\]则称 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的一个同态映射, 简称同态.
个人理解，同态+单+满=同构
自然同态
到商群的映射
定理
定理 2.3.1 设 $\phi$ 是䍧 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的同态映射, $e$ 与 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 与 $G^{\prime}$ 的单 位元, $a \in G$, 则 (1) $\phi$ 将 $G$ 的单位元映到 $G^{\prime}$ 的单位元, 即 $\phi(e)=e^{\prime}$; (2) $\phi$ 将 $a$ 的逆元映到 $\phi(a)$ 的逆元, 即 $\phi\left(a^{-1}\right)=(\phi(a))^{-1}$; (3) 设 $n$ 是任一整数, 则 $\phi\left(a^{n}\right)=(\phi(a))^{n}$; (4) 如果 ord $a$ 有限, 则 ord $\phi(a) \mid$ ord $a$.
象
G 映射到 G‘，A和B是G和G’的非空子集
$\phi(A)$叫象，$\phi^{-1}(B)$叫做原象
核
设 $\phi$ 是群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态映籿, $e^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 的单位元, 则称 $e^{\prime}$ 在 $G$ 中的原象
\[\phi^{-1}\left(\left\lbracee^{\prime}\right\rbrace\right)=\left\lbracea \in G \mid \phi(a)=e^{\prime}\right\rbrace\]为同态映射 $\phi$ 的核, 记作 $\operatorname{Ker} \phi$.
$\operatorname{Ker} \phi$是G的正规子群
群同态基本定理
设 $\phi$ 是群 $G$ 到群 $G^{\prime}$ 的满同态, $K=\operatorname{Ker} \phi$, 则$G / K \cong G^{\prime} .$
证明群的同构
\[\begin{aligned} &\text { 第一步 建立群 } G \text { 与群 } G^{\prime} \text { 的元素之间的对应关系 } \phi \text {, 并证明 } \phi \text { 为 } G \text { 到 } G^{\prime} \text { 的 } \\ &\text { 第二步 证明 } \phi \text { 为 } G \text { 到 } G^{\prime} \text { 的满映射; } \\ &\text { 第三步 证明 } \phi \text { 为 } G \text { 到 } G^{\prime} \text { 的同态映射; } \\ &\text { 第四步 计算同态的核 } \operatorname{Ker} \phi \text {; } \\ &\text { 第五步 应用群同态基本定理得 } G / \operatorname{Ker} \phi \cong G^{\prime} . \end{aligned}\]直积
定义
笛卡尔积
外直积
笛卡尔积关于乘法构成群
定理
设 $G=G_{1} \times G_{2}$ 是群 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 的外直积, 则 (1) $G$ 是有限群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是有限群. 并且, 当 $G$ 是有限群时, 有
\[|G|=\left|G_{1}\right| \cdot\left|G_{2}\right| ;\](2) $G$ 是交换群的充分必要条件是 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 都是交换群; (3) $G_{1} \times G_{2} \cong G_{2} \times G_{1}$.
阶数为两个阶数的最小公倍数
两个都是循环群，且阶数互质 充分必要 直积也是循环群
内直积
交集是单位元
定理
G=HK，每个元素可以唯一表示成 h k
h k 可交换
外直积与内直积同态
反之, 如果群 $G=G_{1} \times G_{2}$, 则存在 $G$ 的正规子群 $G_{1}^{\prime}$ 和 $G_{2}^{\prime}$, 且 $G_{i}^{\prime}$ 与 $G_{i}$ 同构 $(i=1,2)$, 使得 $G$ 是 $G_{1}^{\prime}$ 与 $G_{2}^{\prime}$ 的内直积.
环
定义
R 是非空集合，定义加法和乘法，满足
- 关于加法构成交换群
- 乘法结合律成立
- 分配律成立
交换环
关于乘法满足交换律
直和
\[\begin{aligned} &\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots, a_{n}+b_{n}\right) \\ &\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \cdot\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)=\left(a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \cdots, a_{n} b_{n}\right) \end{aligned}\]R 是 R1 到 Rn 的笛卡尔积，关于上面构成环
R有单位元 充分必要 Ri都有单位元
R是交换环 充分必要 Ri都是交换环
性质
满足倍数法则、指数法则、负号运算
子环
S 是 R 的非空子集，S 关于 R 的运算构成环，S 是 R 的子环，记作 S < R
(S, +) 是 (R, +) 的加法子群
S 关于 R 的乘法封闭
S 是 R 的子环的充要条件
- 对于任意S 中 a, b，a - b 也在 S 中
- 对于任意S 中 a, b，ab 也在 S 中
整环、域与除环
零因子
若 R 为环，a，b为 R 中两个非零元素，如果
\[a\cdot b=0\]a 是 R 的左零因子，b 是 R 的右零因子
无零因子环
没有零因子的环是无零因子环
无零因子环中，左消去律和右消去律成立。
整环
无零因子，单位元不为 0 的交换环是整环
例子：
- 高斯整环 $\mathbf{Z}[i]=\lbracea+bi \mid a, b \in \mathbf{Z}\rbrace$
- 无平方因子$\mathbf{Z}[\sqrt{d}]=\lbracea+b \sqrt{d} \mid a, b \in \mathbf{Z}\rbrace$
域
F 是域：交换环，非零单位元，非零元都可逆
理想与商环
定义
I 是 R 的非空子集，减法封闭，
定义 3.3.1 设 $R$ 为环, $I$ 为 $R$ 的非空子集, 如果 $I$ 满足 (I1) 对任意的 $r_{1}, r_{2} \in I, r_{1}-r_{2} \in I$; (I2) 对任意的 $r \in I, s \in R, r s, s r \in I$, 则称 $I$ 为环 $R$ 的一个理想(ideal), 记作 $I \triangleleft R$. 又如果 $I \subsetneq R$, 则称 $I$ 为 $R$ 的真理 想(proper ideal).
性质
两个理想的 和 和 交 都是理想
主理想
包含 a 的所有理想的交
推论
整数环的每个理想都是主理想
模m剩余类环的每个理想都是主理想